Question

3．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），F₁，F₂為橢圓的左．右焦點，M是橢圓上任一點，若$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$的取值范圍為[-3，3]，則橢圓方程為（　　）

• A． $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{3}=1$
• B． $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$
• C． $\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1

Answer 1

分析 設M（m，n），F₁（-c，0），F₂（c，0），運用向量的數量積的坐標表示，結合橢圓上的點和原點的距離的最值，即可得到a，b的值，進而得到所求方程．

解答 解：設M（m，n），F₁（-c，0），F₂（c，0），
$\overrightarrow{M{F}_{1}}$=（-c-m，-n），$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=（c-m，-n），
$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=（-c-m）（c-m）+n²=m²+n²-c²，
由m²+n²的幾何意義為點（0，0）與點M的距離的平方，
即有m²+n²的最大值為a²，最小值為b²，
則$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$的取值范圍是[b²-c²，a²-c²]，
由題意可得b²-c²=-3，a²-c²=3，b²+c²=a²，
求得b²=3，a²=9，c²=6，
可得橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$
故選A．

點評 本題考查橢圓的方程和性質，考查平面向量的數量積的坐標表示，考查運算能力，屬于中檔題．