Question

12．已知函數f（x）=e^x-ax+b．
（1）若f（x）在x=2有極小值1-e²，求實數a，b的值．
（2）若f（x）在定義域R內單調遞增，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導函數，根據極值的意義得到關于a，b的方程組，求出a，b的值即可；
（2）f（x）在R上單調遞增，則f'（x）=e^x-a≥0恒成立，分離參數，即可求得a的取值范圍．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-a，
若f（x）在x=2有極小值1-e²，
則$\left\{\begin{array}{l}{f′（2）{=e}^{2}-a=0}\\{f（2）{=e}^{2}-2a+b=1{-e}^{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a{=e}^{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$；
（2）∵f（x）=e^x-ax+b，∴f'（x）=e^x-a，
∵f（x）在R上單調遞增，
∴f'（x）=e^x-a≥0恒成立，
即a≤e^x，x∈R恒成立．
∵x∈R時，e^x∈（0，+∞），∴a≤0．
即a的取值范圍為（-∞，0]．

點評 本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與最值，考查恒成立問題，正確求導是關鍵．