Question

6．對任意x∈[0，$\frac{π}{6}$]，任意y∈（0，+∞），不等式$\frac{y}{4}$-2cos²x≥asinx-$\frac{9}{y}$恒成立，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，3]
• B． [-2$\sqrt{2}$，3]
• C． [-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$]
• D． [-3，3]

Answer 1

分析 將不等式$\frac{y}{4}$-2cos²x≥asinx-$\frac{9}{y}$恒成立轉化為$\frac{y}{4}+\frac{9}{y}$≥asinx+2-2sin²x恒成立，構造函數f（y）=$\frac{y}{4}+\frac{9}{y}$，利用基本不等式可求得f（y）_min=3，于是問題轉化為asinx+2-2sin²x≤3恒成立．通過對sinx＞0、sinx=0分類討論求得實數a的取值范圍．

解答 解：任意x∈[0，$\frac{π}{6}$]，y∈（0，+∞），
不等式$\frac{y}{4}$-2cos²x≥asinx-$\frac{9}{y}$恒成立?$\frac{y}{4}+\frac{9}{y}$≥asinx+2-2sin²x恒成立，
令f（y）=$\frac{y}{4}+\frac{9}{y}$，
則asinx+2-2sin²x≤f（y）_min，
∵y＞0，∴f（y）=$\frac{y}{4}+\frac{9}{y}$≥2$\sqrt{\frac{y}{4}•\frac{9}{y}}$=3（當且僅當y=6時取“=”），f（y）_min=3．
∴asinx+2-2sin²x≤3，即asinx-2sin²x≤1恒成立．
∵x∈[0，$\frac{π}{6}$]，∴sinx∈[0，$\frac{1}{2}$]，
當sinx=0時，對于任意實數a，不等式asinx-2sin²x≤1恒成立；
當sinx＞0時，不等式asinx-2sin²x≤1化為a≤2sinx+$\frac{1}{sinx}$恒成立，
令sinx=t，則0＜t≤$\frac{1}{2}$，
再令g（t）=2t+$\frac{1}{t}$（0＜t≤$\frac{1}{2}$），則a≤g（t）_min．
由于g′（t）=2-$\frac{1}{{t}^{2}}$＜0，
∴g（t）=2t+$\frac{1}{t}$在區間（0，$\frac{1}{2}$]上單調遞減，
因此，g（t）_min=g（$\frac{1}{2}$）=3，
∴a≤3．
綜上，a≤3．
故選：A．

點評 本題考查恒成立問題，將不等式$\frac{y}{4}$-2cos²x≥asinx-$\frac{9}{y}$恒成立轉化為$\frac{y}{4}+\frac{9}{y}$≥asinx+2-2sin²x恒成立是基礎，令f（y）=$\frac{y}{4}+\frac{9}{y}$，求得f（y）_min=3是關鍵，也是難點，考查等價轉化思想、分類討論思想的綜合運用，屬于難題．