Question

【題目】已知函數f（x），g（x）=f（x）-a，

（1）討論函數g（x）的零點個數，并寫出相應的實數a的取值范圍；

（2）當函數g（x）有四個零點分別為x1，x2，x3，x4時，求x1+x2+x3+x4的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）-2＜x1+x2+x3+x4≤.

【解析】

（1）利用兩個函數圖像的交點個數，來判定零點個數；

（2）結合函數圖像的特點，得出零點的特征及范圍.

（1）根據題意，g（x）=f（x）-a的零點的個數即y=f（x）與直線y=a交點的個數，

函數f（x）=的圖象如圖：

①當a＜-3時，y=f（x）與直線y=a沒有交點，則函數g（x）沒有零點；

②當a=-3時，y=f（x）與直線y=a有1個交點，則函數g（x）有1個零點；

③當-3＜a＜0時，y=f（x）與直線y=a有2個交點，則函數g（x）有2個零點；

④當a=0或a＞1時，y=f（x）與直線y=a有3個交點，則函數g（x）有3個零點；

⑤當0＜a≤1時，y=f（x）與直線y=a有4個交點，則函數g（x）有4個零點；

（2）由（1）的結論，函數g（x）有四個零點分別為x1，x2，x3，x4時，必有0＜a≤1，

設x1＜x2＜x3＜x4，則有x1+x2，|lgx3|=|lgx4|，

若|lgx3|=|lgx4|，則x3x4=1，

又由1＜x4≤10，則.

令，易知該函數在上單調遞增，所以 即2＜x3+x4≤，

故-2＜x1+x2+x3+x4≤．