Question

【題目】已知拋物線，過點的直線與拋物線相切，設第一象限的切點為.

（Ⅰ）證明：點在軸上的射影為焦點；

（Ⅱ）若過點的直線與拋物線相交于兩點，圓是以線段為直徑的圓且過點，求直線與圓的方程.

Answer 1

【答案】（I）詳見解析；（II）詳見解析.

【解析】

（Ⅰ）設過點的直線方程為，與拋物線方程聯立消元后得到二次方程，根據判別式為零得到，當時可求得點坐標為，而焦點為，故結論成立．（Ⅱ）設直線的方程為，與拋物線方程聯立消元后得到二次方程．由圓是以線段為直徑的圓且過點可得，然后結合根與系數的關系求出或，進而可得所求方程．

（Ⅰ）由題意知可設過點的直線方程為，

由消去整理得，

又因為直線與拋物線相切，

所以，解得．

當時，直線方程為，可得點坐標為，

又因為焦點，

所以點在軸上的射影為焦點．

（Ⅱ）設直線的方程為，

由，

其中恒成立.

設，，

則，

所以，．

由于圓是以線段為直徑的圓過點，則，

所以

所以，

解得或．

當時，直線的方程為，圓的方程為；

當時，直線的方程為，圓的方程為．