Question

18．已知P是直線3x+4y+8=0上的動點，PA，PB是圓x²+y²-2x+2y+1=0的兩條切線，A，B為切點，C是圓心，那么四邊形PACB面積的最小值為$\frac{2\sqrt{6}}{5}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，可知要使四邊形PACB面積最小，則P為過圓心作直線3x+4y+8=0的垂線得垂足，由點到直線的距離公式求得PC，再由勾股定理得弦長，代入三角形面積公式得答案．

解答 解：如圖，
直線3x+4y+8=0與圓x²+y²-2x+2y+1=0相離，
化圓x²+y²-2x+2y+1=0為（x-1）²+（y+1）²=1，圓心坐標為C（1，-1），半徑為1．
連接CA，CB，則CA⊥PA，CB⊥PB，
則四邊形PACB的面積等于兩個全等直角三角形PAC與PBC的面積和．
∵AC是半徑，為定值1，要使三角形PAC的面積最小，則PC最小，
|PC|=$\frac{|3×1+4×（-1）+8|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}=\frac{7}{5}$，
∴|PA|=$\sqrt{（\frac{7}{5}）^{2}-{1}^{2}}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$．
∴四邊形PACB面積的最小值為2×$\frac{1}{2}×1×\frac{2\sqrt{6}}{5}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{6}}{5}$．

點評 本題考查直線與圓位置關系的應用，考查數形結合的解題思想方法，屬于中檔題．