Question

（2013•薊縣一模）已知直線l分別過函數y=a^x，（a＞0且a≠1）于函數y=log_bx，（b＞0且b≠1）的定點，第一象限的點P（x，y）在直線l上，則-

2

x

-

1

2y

的最大值為

-

9

2

．

Answer 1

分析：先由指數函數與對數函數的特殊點得到兩定點的坐標，再由直線方程的截距式得到x與y滿足的關系式，最后依據基本不等式即可求出式子的最大值．

解答：解：由于函數y=a^x，（a＞0且a≠1）與函數y=log_bx，（b＞0且b≠1）的定點分別為（0，1），（1，0）
故由截距式得到直線l的方程為x+y=1，
又由第一象限的點P（x，y）在直線l上，則x+y=1，（x＞0，y＞0）
則-

2

x

-

1

2y

=-

2(x+y)

x

-

x+y

2y

=-

5

2

-(

2y

x

+

x

2y

)≤-

5

2

-2

2y x × x 2y

=-

9

2

（當且僅當

2y

x

=

x

2y

即x=

2

3

，y=

1

3

時，取“=”）
故答案為-

9

2

．

點評：本題考查利用基本不等式求最值問題，同時考查了基本初等函數的特殊點及直線的截距式方程，屬于基礎題．