Question

（2013•薊縣一模）（幾何證明選講）如圖，點A、B、C都在⊙O上，過點C的切線交AB的延長線于點D，若AB=5，BC=3，CD=6，則線段AC的長為

4.5

．

Answer 1

分析：根據圓的切線和割線，利用切割線定理得到與圓有關的比例線段，代入已知線段的長度求出DB的長，根據三角形的兩個角對應相等，得到兩個三角形全等，對應線段成比例，得到要求的線段的長度．

解答：解：∵過點C的切線交AB的延長線于點D，
∴DC是圓的切線，DBA是圓的割線，
根據切割線定理得到DC²=DB•DA，
∵AB=5，CD=6，
∴36=DB（DB+5）
∴DB=4，
由題意知∠D=∠D，∠BCD=∠A
∴△DBC∽△DCA，
∴

DC

DA

=

BC

CA

∴AC=

3×9

6

=4.5，
故答案為：4.5

點評：本題考查與圓有關的比例線段，考查三角形的相似的判定定理與性質定理，本題解題的關鍵是根據圓中的比例式，代入已知線段的長度求出未知的線段的長度，本題是一個基礎題．