Question

6．已知a＞0，b＞0，若不等式$\frac{3b+a}{b}$≥$\frac{（m+2）a+b}{2a+b}$恒成立，則m的最大值為（　　）

• A． 10
• B． 9
• C． 8
• D． 7

Answer 1

分析 由題意，因為a＞0，b＞0，將不等式分離化簡，去分母，然后分離出m，利用基本不等式的性質求解．

解答 解：由題意，∵a＞0，b＞0，
不等式$\frac{3b+a}{b}$≥$\frac{（m+2）a+b}{2a+b}$化簡為：3+$\frac{a}{b}$$≥1+\frac{am}{2a+b}$，⇒$\frac{am}{2a+b}-\frac{a}{b}≤2$，⇒abm≤5ab+2a²+2b²
∵2a²+2b²≥4ab，當且僅當a=b是取等號．
∴m≤$\frac{5ab+4ab}{ab}=9$．
故選B．

點評 本題考查了比本不等式的變形和化簡計算能力．分離參數是解題的關鍵．屬于基礎題．