Question

四個半徑為1的球彼此相切，三個在水平面上，第四個在它們的上面．其中，給出一個邊長為a的正四面體，使得任一球與該正四面體的三個面相切，求實數a的值．

Answer 1

考點：球的體積和表面積

專題：空間位置關系與距離

分析：四個球的球心是邊長為2的正四面體的頂點，過點A的高交底面BCD于點G，則G為△ABC的重心．與球都外切的四面體的各面到球心四面體ABCD相應各面的距離都是1，仍然是一個正四面體，于是將△AEG擴展為該四面體中相應的△A₁E₁G₁，進而求出相應四面體的棱長，可得答案．

解答： 解：四個球的球心是邊長為2的正四面體的頂點，
設該四面體為ABCD．
過點A的高交底面BCD于點G，
則G為△ABC的重心．
取BC的中點E，畫出平面圖形△AEG，如圖所示．
與球都外切的四面體的各面到球心四面體ABCD相應各面的距離都是1，仍然是一個正四面體，…（5分）
于是將△AEG擴展為該四面體中相應的△A₁E₁G₁，只須分別作A₁E₁∥AE，E₁G₁∥EG，平行線間距均為1，即可得到△A₁E₁G₁，通過△AEG求出△A₁E₁G₁的邊，
進而可求出a的值．…（5分）
事實上，易知AE=

3

2

AC=

3

，EG=

1

3

DE=

3

3

，AG=

AE2-EG2

=

2 6

3

，

AA1

AE

=

1

EG

，
所以AA1=

AE

EG

=3．
所以A1G1=A1A+AG+GG1=4+

2

3

6

．
又因為

A1G1

A1E1

=

A1G1

3 2 a

=

AG

AE

，
得a=

A1G1•AE

3 2 AG

=2+2

6

．…（15分）

點評：本題考查的知識點是球的幾何特征，球與平面相切的幾何特征，考查空間想像能力和計算能力，難度較大，屬于難題．