Question

已知矩陣m=

3 -2 2 -2

，α=

-1 4

，試計算：M¹⁰α．

Answer 1

考點：矩陣與向量乘法的意義

專題：矩陣和變換

分析：先求出矩陣M的特征多項式，再根據對應的方程求出矩陣的特征值和特征向量，然后將向量α分解成兩個特征向量的線性和，將矩陣與向量的積轉化為矩陣與特征向量的積，從而轉化為數乘問題，得到本題結論．

解答： 解：∵矩陣M=

3 -2 2 -2

，
∴矩陣M的特征多項式為：
f（λ）=

.

λ-3 2 -2 λ+2

.

=λ²-λ+2．
令f（λ）=0，
得到：λ₁=-1，λ₂=2．
當λ₁=-1時，對應的一個特征向量為

α1

=

1 2

，
當λ₂=2時，對應的一個特征向量為

α2

=

2 1

，
∵

α

=

-1 4

=3

α1

-2

α2

，
∴M¹⁰•

α

=M¹⁰•(3

α1

-2

α2

)
=3×（-1）¹⁰

1 2

-2×2¹⁰

1 2

=

-4093 -2042

．

點評：本題考查了利用矩陣的特征值和特征向量求矩陣與向量的積，本題難度適中，屬于中檔題．