Question

【題目】已知點和非零實數，若兩條不同的直線、均過點，且斜率之積為，則稱直線、是一組“共軛線對”，如直線和是一組“共軛線對”，其中是坐標原點.

（1）已知、是一組“共軛線對”，且知直線，求直線的方程；

（2）如圖，已知點、點和點分別是三條傾斜角為銳角的直線、、上的點（、、與、、均不重合），且直線、是“共軛線對”，直線、是“共軛線對”，直線、是“共軛線對”，求點的坐標；

（3）已知點，直線、是“共軛線對”，當的斜率變化時，求原點到直線、的距離之積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）.

【解析】

（1）由可得直線的斜率，進而可得直線的方程；
（2）設直線的斜率分別為，可得，求解可得的值，進一步得到直線與直線的方程，聯立得的坐標；
（3）設，其中，利用兩點間的距離公式可得原點到直線、的距離，變形后利用基本不等式求解．

解：（1）由已知得，又，

直線的方程；
（2）設直線的斜率分別為，
則，得或．
當時，

直線的方程為，直線的方程為，聯立得；
當時，

直線的方程為，直線的方程為，聯立得．
故所求為或；
（3）設，其中，
故

．
由于（等號成立的條件是），
故．