Question

【題目】如圖：在三棱錐中，，是直角三角形，，

，點分別為的中點.

（1）求證：；

（2）求直線與平面所成角的大小；

（3）求二面角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】

試題以分別為軸建立空間直角坐標系，寫出各點的坐標.（1）計算，可得兩直線垂直；（2）計算直線的方向向量和平面的法向量，可求得線面角的余弦值，用反三角函數表示出這個角的大小；（3）分別求出平面，平面的法向量，利用法向量求兩個平面所成角的余弦值，然后轉化為正切值.

試題解析：

解法一（1）連接。在中，.

，點為的中點，

∴.

又，即為在平面內的射影，∴.

分別為的中點，

∴，

∴.

（2），∴.

連結交于點，，∴，

∴為直線與平面所成的角，.

，∴，又，

∴.，∴，

∴在中，，∴，

即直線與平面所成角的大小為.

（3）過點作于點，連結，，

∴，即為在平面內的射影，

，∴為二面角的平面角.

∴中，，

∴，即二面角的正切值為.

解法二 建立空間直角坐標系，如圖

則.

（1）∴，

∴，

∴.

（2）由已知可得，為平面的法向量，，

∴，

∴直線與面所成角的正弦值為.

∴直線與面所成角的為.

（3）設平面的一個法向量為，

∴，

∴，令，

∴.

由已知可得，向量為平面的一個法向量，

∴，

∴.

∴二面角的正切值為.