Question

某市2012年新建住房320萬平方米．其中有80萬平方米的經濟適用房．預計在今后若干年內，該市每年新建住房面積平均比上一年增長5%，另外，每年新建住房中，經濟適用房的面積平均比上一年增加20萬平方米，那么，到哪一年底：
（Ⅰ）該市歷年所建經濟適用房的累積面積（以2012年為累積的第一年）將首次不少于1440萬平方米？
（Ⅱ）當年建造的經濟適用房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于50%？（注：可利用公式（1+a）ⁿ≈1+na（0＜a＜1，n∈N^*）估算．

Answer 1

考點：數列的應用,等比數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）設經濟適用房的面積構成數列{a_n}，可知該數列為等差數列，其中a₁=80，d=20，由求和公式可得n的不等式，解不等式可得；
（Ⅱ）設新建住房面積構成數列{b_n}，可知該數列為等比數列，其中b₁=320，q=1.05，由題意可得n的不等式，解不等式可得．

解答： 解：（Ⅰ）設經濟適用房的面積構成數列{a_n}，
由題意知該數列為等差數列，其中a₁=80，d=20，
則S_n=80n+

n(n-1)

2

×20=10n²+70n，
令10n²+70n≥1440可解得n≥9，
即到2021年底經濟適用房的累積面積將首次不少于1440萬平方米；
（Ⅱ）設新建住房面積構成數列{b_n}，
由題意知該數列為等比數列，其中b₁=320，q=1.05，∴b_n=320×1.05ⁿ，
由a_n＞0.5b_n可得80+20（n-1）＞8[1+0.05（n-1）]，
解得n＞

23

3

，故滿足該式的最小正整數為8，
∴到2020年底經濟適用房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于50%

點評：本題考查數列的實際應用，涉及等比數列的性質和等差數列的求和公式，屬中檔題．