Question

設函數f（x）=

a

•

b

，其中向量

a

=（m，cos2x），

b

=（1+sin2x，1），x∈R，且函數y=f（x）的圖象經過點（

π

4

，2）．
（1）求實數m的值及函數f（x）的單調增區間；
（2）若x∈[-

π

6

，

π

2

]，求函數f（x）的最小值及x的取值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數,平面向量數量積的運算,正弦函數的單調性,三角函數的最值

專題：計算題,三角函數的求值,三角函數的圖像與性質,平面向量及應用

分析：（1）運用向量的數量積的坐標表示，結合圖象過點（

π

4

，2），求得m=1，再由兩角和的正弦公式，再由正弦函數的增區間，解不等式即可得到所求區間；
（2）由x的范圍，求得2x+

π

4

的范圍，再由正弦函數的圖象和性質，即可得到最小值及對應的x的值．

解答： 解：（1）函數f（x）=

a

•

b

=m（1+sin2x）+cos2x
由于函數y=f（x）的圖象經過點（

π

4

，2），
則f（

π

4

）=2，即有m（1+1）=2，解得，m=1，
則f（x）=1+sin2x+cos2x=1+

2

sin（2x+

π

4

），
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，
解得，kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈Z，
即有函數f（x）的單調增區間為[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈Z；
（2）若x∈[-

π

6

，

π

2

]，則2x+

π

4

∈[-

π

12

，

5π

4

]，
則當x=

π

2

時，sin（2x+

π

4

）取得最小值-

2

2

，
f（x）取得最小值，且為1+

2

×（-

2

2

）=0．

點評：本題考查平面向量的數量積的坐標表示，考查兩角和的正弦公式，考查正弦函數的單調區間和圖象與性質及最值的求法，屬于中檔題．