Question

16．已知變量x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-y-1≤0}\\{2x-y-3≥0}\end{array}\right.$若目標函數z=ax+2by（a＞0，b＞0），在該約束條件下的最小值為2，則$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值為（　　）

• A． 7
• B． 8
• C． 9
• D． 不存在

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優解，聯立方程組求得最優解的坐標，代入目標函數可得a+b=1，再由基本不等式求得$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-y-1≤0}\\{2x-y-3≥0}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

聯立$\left\{\begin{array}{l}{x-y-1=0}\\{2x-y-3=0}\end{array}\right.$，解得A（2，1），
由圖可知，當目標函數z=ax+2by（a＞0，b＞0），過A時，z有最小值為2a+2b=2，
則a+b=1，
又a＞0，b＞0，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$）（a+b）=5+$\frac{b}{a}+\frac{4a}{b}$$≥5+2\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{4a}{b}}=9$．
當且僅當b=2a，即a=$\frac{1}{3}$，b=$\frac{2}{3}$時上式等號成立．
故選：C．

點評 本題考查簡單的線性規劃，考查利用基本不等式求最值，體現了數形結合的解題思想方法，是中檔題．