Question

給出下列命題：
①函數f（x）=

sin2x+sinx

sinx+1

是奇函數；
②函數f（x）=1既是奇函數又是偶函數；
③函數y=(

1

3

)x與y=-l0g₃x的圖象關于直線y=x對稱；
④若y=f（x）是定義在R上的函數，則y=f（1+x）與y=f（1-x）的圖象關于y軸對稱．
其中正確命題的個數為（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數的性質及應用,簡易邏輯

分析：由函數的定義域不關于原點對稱判斷①；由函數f（x）=1的圖象不關于原點對稱判斷②；
由互為反函數的兩個函數圖象間的關系判斷③；根據函數圖象的翻折與平移判斷④．

解答： 解：①函數f（x）=

sin2x+sinx

sinx+1

的定義域為{x|x≠2kπ-

π

2

，k∈Z}，圖象不關于原點對稱，不是奇函數，①錯誤；
②函數f（x）=1是偶函數不是奇函數，②錯誤；
③函數y=(

1

3

)x與y=-log₃x互為反函數，圖象關于直線y=x對稱，③正確；
④若y=f（x）是定義在R上的函數，
函數y=f（1+x）是把y=f（x）的圖象向左平移1個單位得到的，y=f（1-x）是由y=f（x）得到y=f（-x），
在把y=f（-x）右移1個單位得到y=f[-（x-1）]，∴y=f（1+x）與y=f（1-x）的圖象關于y軸對稱，④正確．
∴正確的命題是③④．
故選：B．

點評：本題考查了命題的真假判斷與應用，考查了函數奇偶性的性質，考查了函數圖象的對稱性，是中檔題．