Question

2．設拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，A是拋物線上橫坐標為4的點，|AF|=5．
（1）求拋物線C的方程；
（2）設過點F且斜率為1的直線l交拋物線C于M，N兩點，O為坐標原點，求△OMN的面積．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線的定義求出拋物線的p，即可頂點拋物線方程．
（2）求出拋物線的焦點坐標F（1，0），直線AB的方程為y=x-1，聯立$\left\{{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{y^2}=4x}\end{array}}\right.$消y得：x²-6x+1=0，利用韋達定理求出|AB|，求出O到直線AB的距離，然后求解數據線的面積．

解答 解：（1）拋物線C的準線方程為：$x=-\frac{p}{2}$
由拋物線的定義可知：$\frac{p}{2}=5-4$
∴p=2
∴拋物線C的標準方程為y²=4x．       …（4分）
（2）由已知，F（1，0），直線AB的方程為y=x-1，…（6分）
聯立$\left\{{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{y^2}=4x}\end{array}}\right.$消y得：x²-6x+1=0，
所以x₁+x₂=6，…（8分）…（8分）
所以|AB|=x₁+x₂+p=8，…（10分）
又因為O到直線AB的距離$d=\frac{1}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
所以${S_{△OMN}}=\frac{1}{2}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}×8=2\sqrt{2}$．　　　　…（12分）

點評 本題考查拋物線的簡單性質的應用，直線與拋物線的位置關系的應用，考查計算能力．