Question

7．已知函數(shù)f（x）=x²-（a+1）x+b．
（1）若f（x）＜0的解集為（-1，3），求a，b的值；
（2）當a=1時，若對任意x∈R，f（x）≥0恒成立，求實數(shù)b的取值范圍；
（3）當b=a時，解關于x的不等式f（x）＜0（結果用a表示）．

Answer 1

分析 （1）將x=-1，3代入f（x）=0，得到關于a，b的方程組，解出即可；
（2）將a=1代入函數(shù)的解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出b的范圍即可；
（3）問題轉化為x²-（a+1）x+a＜0，即（x-1）（x-a）＜0，通過討論a的范圍求出不等式的解集即可．

解答 解：（1）∵f（x）＜0的解集是（-1，3），
∴x²-（a+1）x+b=0的兩個根是-1，3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{（-1）}^{2}-（a+1）（-1）+b=0}\\{{3}^{2}-（a+1）•3+b=0}\end{array}\right.$，
解得：a=1，b=-3；
（2）a=1時，f（x）=x²-2x+b，
∵?x∈R，f（x）≥0恒成立，
∴△=（-2）²-4b≤0，解得：b≥1，
故b的范圍是[1，+∞）；
（3）b=a時，f（x）＜0即x²-（a+1）x+a＜0，
∴（x-1）（x-a）＜0，
a＜1時，a＜x＜1，a=1時，x∈∅，
a＞1時，1＜x＜a，
綜上，a＜1時，不等式f（x）＜0的解集是{x|a＜x＜1}，
a=1時，不等式f（x）＜0的解集是∅，
a＞1時，不等式f（x）＜0的解集是{x|1＜x＜a}．

點評 本題考查了二次不等式和二次方程的關系，考查解一元二次不等式問題，考查分類討論思想，轉化思想，是一道中檔題．