Question

15．已知函數f（x）為二次函數，滿足f（0）=1，且f（x+1）-f（x）=2x．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若方程f（2^x）=2^x+a在x∈（-∞，2]上有兩個不同的解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設出函數f（x）的解析式，根據f（0）=1求出c的值，根據f（x+1）-f（x）=2x，求出a，b的值，從而求出函數的解析式即可；
（2）問題轉化為a=（2^x-1）²在x∈（-∞，2]上有兩個不同的解，令t=2^x，則0＜t≤4，令g（t）=（t-1）²，畫出函數g（t）和y=a的圖象，讀出a的范圍即可．

解答 解：（1）設f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=1得c=1，
∴f（x）=ax²+bx+1，
∴f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）+1=ax²+（2a+b）x+a+b+1，
∴f（x+1）-f（x）=ax²+（2a+b）x+a+b+1-ax²-bx-1
=2ax+a+b，
∵f（x+1）-f（x）=2x，
∴2ax+a+b=2x，
∴2a=2且a+b=0，
∴a=1，b=-1，
∴f（x）=x²-x+1；
（2）若方程f（2^x）=2^x+a在x∈（-∞，2]上有兩個不同的解，
即a=（2^x-1）²在x∈（-∞，2]上有兩個不同的解，
令t=2^x，則0＜t≤4，
令g（t）=（t-1）²，
畫出函數g（t）和y=a的圖象，如圖所示：
故0＜a＜1．

點評 本題考查了二次函數的性質，考查指數函數的性質以及函數的零點問題，考查轉化思想，數形結合思想，是一道中檔題．