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14.已知函數f(x)=lnx-$\frac{a}{x}$.
(1)當a>0時,求f(x)在[e,+∞)上的最小值;
(2)若f(x)在[1,e]上的最小值為$\frac{3}{2}$,求實數a的值;
(3)若f(x)<x2在(1,+∞)上恒成立,求a的取值范圍.

分析 (1)求出函數的導數,判斷函數的單調性,求出函數的最小值即可;
(2)求出函數的導數,通過討論a的范圍,求出函數的單調區間,從而求出函數的最小值,得到關于a的方程,求出a的值即可;
(3)分離參數得到a>xlnx-x3在(1,+∞)上恒成立.令g(x)=xlnx-x3,根據函數的單調性求出a的范圍即可.

解答 解:(1)∵a>0,x≥e,
∴f′(x)=$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$>0,f(x)在[e,+∞)遞增,
故f(x)min=f(e)=$1-\frac{a}{e}$;
(2)由題意可知,f′(x)=$\frac{1}{x}$++$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x+a}{{x}^{2}}$.
①若a≥-1,則x+a≥0,即f′(x)≥0在[1,e]上恒成立,此時f(x)在[1,e]上為增函數,
∴f(x)min=f(1)=-a=$\frac{3}{2}$,∴a=-$\frac{3}{2}$(舍去).
②若a≤-e,則x+a≤0,即f′(x)≤0在[1,e]上恒成立,此時f(x)在[1,e]上為減函數,
∴f(x)min=f(e)=1-$\frac{a}{e}$=$\frac{3}{2}$,∴a=-$\frac{e}{2}$(舍去).
③若-e<a<-1,令f′(x)=0得x=-a,
當1<x<-a時,f′(x)<0,
∴f(x)在(1,-a)上為減函數;
當-a<x<e時,f′(x)>0,
∴f(x)在(-a,e)上為增函數,
∴f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1=$\frac{3}{2}$,
∴a=-$\sqrt{e}$.綜上所述,a=-$\sqrt{e}$;
(3)∵f(x)<x2,∴a>xlnx-x3在(1,+∞)上恒成立.
令g(x)=xlnx-x3,h(x)=g′(x)=1+ln x-3x2
h′(x)=$\frac{1}{x}$-6x=$\frac{1-{6x}^{2}}{x}$.
∵x∈(1,+∞)時,h′(x)<0,
∴h(x)在(1,+∞)上是減函數.
∴h(x)<h(1)=-2<0,即g′(x)<0,
∴g(x)在(1,+∞)上也是減函數.
∴g(x)<g(1)=-1,
當a≥-1時,f(x)<x2在(1,+∞)上恒成立.

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題,考查導數的應用以及分類討論思想,轉化思想,是一道中檔題.

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