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20.已知函數f(x)=2$\sqrt{3}$sin2($\frac{π}{4}$+x)+2sin($\frac{π}{4}$+x)cos($\frac{π}{4}$+x).
(Ⅰ)求函數f(x)的單調遞增區間及其對稱中心;
(Ⅱ)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c且角A滿足f(A)=$\sqrt{3}$+1,若a=3,BC邊上的中線長為3,求△ABC的面積S.

分析 (Ⅰ)先化簡f(x),再根據正弦函數的圖象和性質即可求出函數f(x)的單調遞增區間及其對稱中心,
(Ⅱ)先求出A,再根據向量的加減的幾何意義和向量的數量積公式,以及三角形的面積公式計算即可.

解答 解:(Ⅰ)f(x)=2$\sqrt{3}$sin2($\frac{π}{4}$+x)+2sin($\frac{π}{4}$+x)cos($\frac{π}{4}$+x)=$\sqrt{3}$[1-cos($\frac{π}{2}$+2x)]+sin($\frac{π}{2}$+2x)=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+$\sqrt{3}$=2sin(2x+$\frac{π}{6}$)+$\sqrt{3}$,
由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ,
解得-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ,
∴函數f(x)的單調遞增區間為[-$\frac{π}{3}$+kπ,$\frac{π}{6}$+kπ],k∈Z,
令2x+$\frac{π}{6}$=kπ,解得x=-$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$,
則對稱中心為(-$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$,$\sqrt{3}$),k∈Z;
(Ⅱ)f(A)=$\sqrt{3}$+1,
∴2sin(2A+$\frac{π}{6}$)+$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$+1,
∴sin(2A+$\frac{π}{6}$)=$\frac{1}{2}$,
解得A=$\frac{π}{3}$,
∵|$\overrightarrow{BC}$|=|$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$|=3,①,
BC邊上的中線為3,則|$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AB}$|=6,②,
由①②知$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{27}{4}$,
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|•cos$\frac{π}{3}$=$\frac{27}{4}$,
∴|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|=$\frac{27}{2}$,
∴S=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|sin$\frac{π}{3}$=$\frac{27\sqrt{3}}{8}$.

點評 本題考查了三角函數的化簡以及正弦函數的圖象和性質,向量的加減的幾何意義和向量的數量積公式,以及三角形的面積公式,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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