Question

已知函數f（x）=log_a（8-ax）（a＞0，a≠1）．
（1）若f（x）＞2，求實數x的取值范圍；
（2）若f（x）＞1在區間[1，2]上恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用

分析：（1）由f（x）＞2得log_a（8-ax）＞2，由于函數的底數是a故應對它進行分類，按函數是增函數與減函數解不等式得到實數x的取值范圍；
（2）對于f（x）＞1在區間[1，2]上恒成立，故應確定出函數在區間上的最小值，令最小值大于1，得到關于參數的不等式，解出實數a的取值范圍．

解答： 解：（1）若a＞1時，8-ax＞a²得，x＜

8

a

-a．
若0＜a＜1時，0＜8-ax＜a²得

8

a

-a＜x＜

8

a

；
（2）若a＞1時，8-ax＞a在x∈[1，2]上恒成立，
即x＜

8-a

a

在x∈[1，2]上恒成立，
故

8-a

a

＞2，即a＜

8

3

，則1＜a＜

8

3

．
若0＜a＜1時，0＜8-ax＜a在x∈[1，2]上恒成立，即x＞

8-a

a

在x∈[1，2]上恒成立，
故

8-a

a

＜1，即a＞4，則a∈?．
綜上所述：a∈(1，

8

3

)．

點評：本題考查對數函數的單調性與特殊點，解題的關鍵正確的根據對數的單調性解不等式或者轉化出關于參數的不等式，兩個小題求解過程中都用到了對數的單調性，當參數的取值范圍對所研究的問題有不確定性時常對參數的取值范圍進行討論從而這不確定為確定，是中檔題．