Question

19．如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD=AP，CD=2AB，CD⊥平面APD，AB∥CD，E為PD的中點．
（Ⅰ）求證：AE∥平面PBC；
（Ⅱ）求證：平面PBC⊥平面PCD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PC的中點F，連接EF，BF，證明EF∥CD，EF∥AB，推出AE∥BF．然后證明AE∥平面PBC． 
（Ⅱ）證明CD⊥AE，AE⊥PD．推出AE⊥平面PCD，頂點BF⊥平面PCD，然后證明平面PBC⊥平面PCD．

解答 證明：（Ⅰ）取PC的中點F，連接EF，BF，…（1分）

因為E，F分別是PD，PC的中點，所以EF∥CD，且$EF=\frac{1}{2}CD$． …（2分）
又AB∥CD，$AB=\frac{1}{2}CD$，
所以EF∥AB，且EF=AB，…（3分）
即四邊形ABFE為平行四邊形，…（4分）
所以AE∥BF． …（5分）
因為BF?平面PBC，且AE?平面PBC，…（6分）
所以AE∥平面PBC． …（7分）
（Ⅱ）因為CD⊥平面APD，AE?平面APD，所以CD⊥AE，…（8分）
因為AD=AP，E為PD的中點，
所以AE⊥PD． …（9分）
又PD∩CD=D，
所以AE⊥平面PCD，…（10分）
由（Ⅰ）知，BF∥AE，
所以BF⊥平面PCD，…（11分）
又BF?平面PBC，
所以平面PBC⊥平面PCD． …（12分）

點評 本題考查直線與平面垂直與平行的判定定理的應用，考查空間想象能力以及計算能力．