Question

（本小題滿分14分）設函數f（x）＝x2＋aln（x＋1）.

（1）若函數y＝f（x）在區間[1，＋∞）上是單調遞增函數，求實數a的取值范圍；

（2）若函數y＝f（x）有兩個極值點x1，x2，且x1＜x2，求證：.

 

Answer 1

（1）[－4，＋∞）；（2）見解析

【解析】

試題分析：（1）根據f '（x）≥0在區間[1，＋∞）上恒成立，可求得a的取值范圍；（2）現根據f '（x）＝0，找到x1，x2的關系，將轉換為一個字母x2的函數式，然后利用x2的范圍，利用函數的單調性找到最值，即可求出的范圍.

試題解析：（1）由題意，f '（x）＝≥0在區間[1，＋∞）上恒成立

即a≥－2x2－2x在區間[1，＋∞）上恒成立

而－2x2－2x在區間[1，＋∞）上的最大值為－4

故a≥－4

經檢驗，當a＝－4時，f '（x）＝

當x∈[1，＋∞）時，f '（x）≥0，所以滿足題意的a的取值范圍是[－4，＋∞）

（2）函數的定義域為（－1，＋∞），f '（x）＝

依題意，方程2x2＋2x＋a＝0在區間（－1，＋∞）上有兩個不相等的實根

記g（x）＝2x2＋2x＋a

則有，解得0＜a＜

x2為方程2x2＋2x＋a＝0的解，∴a＝－2x22－2x2.

∵0＜a＜，x1＜x2＜0，x2＝－，∴－＜x2＜0，從而x1＜0

先證＞0，因為x1＜x2＜0，即證f（x2）＜0

∵在區間（x1，x2）內，f '（x）＜0，在區間（x2，0）內，f '（x）＞0

∴f（x2）為極小值，f（x2）＜f（0）＝0

∴＞0成立.

再證＋ln2，

即證f（x2）＞（－＋ln2）（－1－x2）＝（－ln2）（x2＋1）

令g（x）＝，x∈（－，0）

g'（x）＝2x－（4x＋2）ln（x＋1）－－ln2）

＝－2（2x＋1）ln（x＋1）－（－ln2）

又ln（x＋1）＜0，2x＋1＞0，－ln2＜0

∴g'（x）＞0，即g（x）在（－，0）上是增函數

g（x）＞g（－）＝

＝

＝－ln2

綜上可得，成立

考點：利用導數研究函數性質，函數的單調性，極值，方程，不等式