Question

13．已知曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+5cost}\\{y=-5+5sint}\end{array}\right.$（t為參數），以坐標項點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程為ρ=-2sinθ．
（1）把C₁的參數方程化為極坐標系方程；
（2）求C₁與C₂交點的極坐標（ρ≥0，0≤θ＜2π）．

Answer 1

分析 （1）先求出曲線C₁的直角坐標方程，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出到C₁的極坐標方程．
（2）將ρ=-2sinθ代入ρ²+8ρcosθ+10ρsinθ+16=0，得sin（2θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由此能求出C₁與C₂交點的極坐標．

解答 解：（1）∵曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+5cost}\\{y=-5+5sint}\end{array}\right.$（t為參數），
∴曲線C₁的直角坐標方程為（x+4）²+（y+5）²=25，
∴x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴（ρcosθ+4）²+（ρsinθ+5）²=25，
化簡，得到C₁的極坐標方程為：ρ²+8ρcosθ+10ρsinθ+16=0．
（2）將ρ=-2sinθ代入ρ²+8ρcosθ+10ρsinθ+16=0，
化簡，得：sin²θ+sinθcosθ-1=0，
整理，得sin（2θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴2θ-$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{4}$或$2θ-\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{3π}{4}$，k∈Z，
由ρ≥0，0≤θ＜2π，得$θ=\frac{5π}{4}$或$θ=\frac{3π}{2}$，
代入ρ=-2sinθ，得$\left\{\begin{array}{l}{θ=\frac{5π}{4}}\\{ρ=\sqrt{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{θ=\frac{3π}{2}}\\{ρ=2}\end{array}\right.$，
∴C₁與C₂交點的極坐標為（$\sqrt{2}$，$\frac{5π}{4}$）或（2，$\frac{3π}{2}$）．

點評 本題考查參數方程與極坐標方程的互化，考查曲線的交點的極坐標的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意直角坐標方程與極坐標方程互化公式的合理運用．