Question

11．若函數f（x）在其定義域上既是減函數又是奇函數，則函數f（x）的解析式可以是（　　）

• A． $f（x）={log_2}（\sqrt{{x^2}+1}-x）$
• B． $f（x）=\frac{1}{x}$
• C． f（x）=x²-x³
• D． f（x）=sinx

Answer 1

分析 根據函數的奇偶性定義、對數函數的單調性、復合函數的單調性判斷A；根據基本初等函數奇偶性和單調性的性質分別判斷B、C、D即可．

解答 解：A．$f（x）=lo{g}_{2}（\sqrt{{x}^{2}+1}-x）$的定義域是R，
且$f（-x）=lo{g}_{2}（\sqrt{{x}^{2}+1}+x）$=$lo{g}_{2}（\sqrt{{x}^{2}+1}-x）^{-1}$=-f（x），
所以f（x）是奇函數，
因為y=$\sqrt{{x}^{2}+1}-x$=$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}+x}$在定義域上是減函數，
所以函數$f（x）=lo{g}_{2}（\sqrt{{x}^{2}+1}-x）$在定義域上是減函數，滿足條件；
B．$f（x）=\frac{1}{x}$是定義域{x|x≠0}上的奇函數，在（-∞，0），（0，+∞）上是減函數，
但是在定義域上不是減函數，不滿足條件；
C．因為f（-x）=（-x）²-（-x）³=x²+x³，所以f（x）是非奇非偶函數，不滿足條件；
D．f（x）=sinx是奇函數，在定義域上不是單調函數，不滿足條件．
故選：A．

點評 本題考查函數奇偶性和單調性的判斷，以及對數函數的單調性、復合函數的單調性，熟練掌握常見函數的奇偶性和單調性是解題的關鍵．