Question

19．對于函數y=f（x）（x∈R），給出下列命題：
①在同一直角坐標系中，函數y=f（-1-x）與y=f（x-1）的圖象關于直線x=0對稱；
②若f（1-x）=f（x-1），則函數y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱；
③若f（1+x）=f（x-1），則函數y=f（x）是周期函數；
④若f（1-x）=-f（x-1），則函數y=f（x）的圖象關于點（0，0）對稱．
其中所有正確命題的序號是①③④．

Answer 1

分析 根據函數對稱變換法則，可判斷①；根據函數的對稱性，可判斷②④；根據函數的周期性，可判斷③．

解答 解：設函數y=f（-1-x）與y=f（x-1）的圖象關于直線x=a對稱，
則f[-1-（2a-x）]=f（x-1），即2a-1=-1，解得：a=0，
即函數y=f（-1-x）與y=f（x-1）的圖象關于直線x=0對稱，故①正確；
若f（1-x）=f（x-1），則函數y=f（x）的圖象關于直線x=$\frac{1-1}{2}$=0對稱，故②錯誤；
③若f（1+x）=f（x-1），f（x+2）=f[1+（1+x）]=f[（1+x）-1}=f（x），
則函數y=f（x）是周期為2的周期函數，故③正確；
④若f（1-x）=-f（x-1），則函數y=f（x）的圖象關于點（0，0）對稱，故④正確．
故答案為：①③④

點評 若f（a-x）=f（b+x）則函數圖象關于直線x=$\frac{a+b}{2}$對稱；若f（a-x）+f（b+x）=2c，則函數圖象關于（$\frac{a+b}{2}$，c）對稱；若f（a+x）=f（b+x），則函數的周期為|a-b|．