Question

4．已知函數f（x）=2sin（π-x）cosx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在區間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將函數f（x）化簡成f（x）=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數的最小正周期，
（Ⅱ）當x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]時，求出內層函數的取值范圍，結合三角函數的圖象和性質，求出f（x）的取值最大和最小值．

解答 解：（Ⅰ）函數f（x）=2sin（π-x）cosx．
化簡可得：f（x）=2sinxcosx=$\frac{1}{2}$sin2x．
最小正周期T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{2}$=π
∴f（x）的最小正周期為π．
（Ⅱ）當x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]時，2x∈[$-\frac{π}{3}$，π]．
根據正弦函數的圖象及性質，可知：
當2x=-$\frac{π}{3}$時，函數f（x）取得最小值為$\frac{1}{2}$sin（-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
當2x=$\frac{π}{2}$時，函數f（x）取得最大值為$\frac{1}{2}$sin（$\frac{π}{2}$）=$\frac{1}{2}$．
故得函數f（x）當x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]時的最大值f（x）_max=$\frac{1}{2}$，最小值為f（x）_min=$-\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題主要考查三角函數的圖象和性質，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵