Question

若a、b、c都是正數，且至少有一個不為1，a^xb^yc^z＝a^yb^zc^x＝a^zb^xc^y＝1，則x、y、z應滿足的關系是________．

Answer 1

答案：x＋y＋z＝0或x＝y＝z
解析：

　　解：由a^xb^yc^z＝1，兩邊取對數，得xlg a＋ylg b＋zlg c＝0，

　　同理ylg a＋zlg b＋xlg c＝0，zlg a＋xlg b＋ylg c＝0．

　　三式相加，得(x＋y＋z)lg a＋(x＋y＋z)lg b＋(x＋y＋z)lg c＝0．

　　∴(x＋y＋z)(1g a＋lg b＋lg c)＝0．∴x＋y＋z＝0，或lg a＋lg b＋lg c＝0．

　　由lg a＋lg b＋lg c＝0，得lg abc＝0，

　　abc＝1，a＝，

　　將①代入a^xb^yc^z＝1，得b^y－xc^z－x＝1，

　　又a、b、c不全為1，只有當y－x＝z－x＝0．

　　即x＝y＝z時，等式成立．

　　∴填x＋y＋z＝0或x＝y＝z．