Question

【題目】已知函數.

（1）求的單調區間；

（2）對任意的， ，恒有，求正實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）.

【解析】試題分析：（1）先確定函數的定義域然后求導數fˊ（x），再對字母a分類討論，在函數的定義域內解不等式fˊ（x）>0和fˊ（x）<0，求出單調區間．
（2）根據第一問的單調性，知f（x）在[1，2]上為減函數．若x1=x2，則原不等式恒成立；若x1≠x2，不妨設1≤x1<x2≤2，則f（x1）>f（x2），，所以原不等式進行化簡整理得對任意的恒成立，令,轉化成研究g（x）在[1，2]的單調性，再利用導數即可求出正實數λ的取值范圍．

試題解析：

（1）=，

令f'（x）=0，則x1=2a+1，x2=1．

①當a=0時，，所以f（x）增區間是（0，+∞）；

②當a＞0時，2a+1＞1，

所以f（x）增區間是（0，1）與（2a+1，+∞），減區間是（1，2a+1）；

③當時，0＜2a+1＜1，

所以f（x）增區間是（0，2a+1）與（1，+∞），減區間是（2a+1，1）；

④當時，2a+1≤0，

所以f（x）增區間是（1，+∞），減區間是（0，1）．

（2）因為，所以（2a+1）∈[4，6]，

由（1）知f（x）在[1，2]上為減函數．

若x1=x2，則原不等式恒成立，∴λ∈（0，+∞）．

若x1≠x2，不妨設1≤x1＜x2≤2，則f（x1）＞f（x2），，

所以原不等式即為：，

即對任意的，x1，x2∈[1，2]恒成立．

令，

所以對任意的，x1，x2∈[1，2]有g（x1）＜g（x2）恒成立，

所以在閉區間[1，2]上為增函數．

所以g'（x）≥0對任意的，x∈[1，2]恒成立．

而，g'（x）=x﹣（2a+2），化簡即x3﹣（2a+2）x2+（2a+1）x+λ≥0，

即（2x﹣2x2）a+x3﹣2x2+x+λ≥0，其中．

∵x∈[1，2]，∴2x﹣2x2≤0，∴只需．

即x3﹣7x2+6x+λ≥0對任意x∈[1，2]恒成立．

令h（x）=x3﹣7x2+6x+λ，x∈[1，2]，h'（x）=3x2﹣14x+6＜0恒成立．

∴h（x）=x3﹣7x2+6x+λ在閉區間[1，2]上為減函數，則hmin（x）=h（2）=λ﹣8，

∴hmin（x）=h（2）=λ﹣8≥0，解得λ≥8．

故正實數λ的取值范圍[8，+∞）