Question

【題目】函數f（x）是這樣定義的：對于任意整數m，當實數x滿足不等式|x﹣m|＜ 時，有f（x）=m．
（1）求函數f（x）的定義域D，并畫出它在x∈D∩[0，3]上的圖象；
（2）若數列an=2+10（ ）n ， 記Sn=f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（an），求Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）的定義域是D={x||x﹣m|＜ }

={x|m﹣ ＜x＜m+ ，m∈Z}

圖象如圖所示

（2）解：由于an=2+10（ ）n，

所以f（an）= ，

當n=1時，S1=6，

n=2時，S2=f（a1）+f（a2）=6+4=10，

n=3時，S3=f（a1）+f（a2）+f（a3）=6+4+3=13，

n＞3時，Sn=6+4+3+2（n﹣3）=2n+7，

因此Sn=

【解析】（1）利用絕對值不等式的解法，解|x﹣m|＜ ，可得定義域，并畫出圖象．（2）分別求出f（a1），f（a2），f（a3），…，f（an），考查數列{f（an ）} 的性質，再求和．
【考點精析】利用數列的前n項和對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．