Question

若曲線f（x，y）=0上存在兩個不同點處的切線重合，則稱這條切線為曲線的自公切線，下列方程的曲線有自公切線的是（　　）

• A、x²+y-1=0
• B、|x|-

  4-y2

  +1=0
• C、x²+y²-x-|x|-1=0
• D、3x²-xy+1=0

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,函數的性質及應用

分析：通過畫出函數圖象，觀察其圖象是否滿足在其上圖象上是否存在兩個不同點處的切線重合，從而確定是否存在自公切線，從而得到結論．

解答：解：A：x²+y-1=0，即y=1-x²，是拋物線，沒有自公切線；
B：對于方程|x|-

4-y2

+1=0，其表示的圖形為圖中實線部分，不滿足要求，故不存在．
C：x²+y²-x-|x|-1=0，由兩圓相交，可知公切線，滿足題意，故有自公切線；
D：3x²-xy+1=0，即y=3x+

1

x

是勾號函數，沒有自公切線．
故選：C．

點評：正確理解新定義“自公切線”，正確畫出函數的圖象、數形結合的思想方法是解題的關鍵．