Question

若函數f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+

1

3

x+1在x=1處的切線的傾斜角為α，則

cos2α

sin2α+cos2α

的值是（　�。�

• A、

  8

  3

• B、

  8

  5

• C、-

  8

  7

• D、

  8

  15

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,二倍角的正弦,直線的傾斜角

專題：導數的綜合應用,三角函數的求值

分析：通過函數的導數求出切線的斜率，求出切線的傾斜角的正切值，然后化簡表達式為正切函數的形式即可求解結果．

解答：解：函數f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+

1

3

x+1，
∴函數f′（x）=x²-x+

1

3

．
∵函數f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+

1

3

x+1在x=1處的切線的傾斜角為α，
∴tanα=

1

3

．
∴

cos2α

sin2α+cos2α

=

1-tan2α

2tanα+1

=

1- 1 9

2× 1 3 +1

=

8

15

．
故選：D．

點評：本題考查導數的幾何意義，考查切線方程，考查二倍角的三角函數的化簡求值，學生的計算能力，屬于基礎題．