Question

13．已知函數(shù)$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{2x-5}&{x＜1}\\{x+\frac{a}{x}}&{x≥1}\end{array}}\right.$為R上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是[-4，1]．

Answer 1

分析 根據(jù)分段函數(shù)在R上的單調(diào)函數(shù)，y₁=2x-5是單調(diào)遞增，${y}_{2}=x+\frac{a}{x}$也是單調(diào)遞增，根據(jù)勾勾函數(shù)的性質(zhì)求解．

解答 解：函數(shù)$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{2x-5}&{x＜1}\\{x+\frac{a}{x}}&{x≥1}\end{array}}\right.$為R上的單調(diào)函數(shù)，
當x＜1，y₁=2x-5是單調(diào)遞增，其最大值小于-3，${y}_{2}=x+\frac{a}{x}$也是單調(diào)遞增，
根據(jù)勾勾函數(shù)的性質(zhì)可知：當a＞0時，y₂在$（\sqrt{a}，+∞）$是單調(diào)遞增，
∵${y}_{2}=x+\frac{a}{x}$的定義域為{x|x≥1}，
∴$\sqrt{a}≤1$，
解得：0＜a≤1．
那么：當x=1時，函數(shù)${y}_{2}=x+\frac{a}{x}$取得小值為1+a．
由題意：$（2x-5）_{max}≤（x+\frac{a}{x}）_{min}$，即1+a≥-3，
解得：a≥-4．
綜上可得：1≥a≥-4．
故得實數(shù)a的取值范圍是[-4，-1]．

點評 本題考查了分段的單調(diào)性的運用能力來求解參數(shù)問題．要靈活運用勾勾函數(shù)的性質(zhì)．屬于中檔題．