Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且2S_n=3a_n-1，等差數列{b_n}中，b₂+b₅=12，b₃+b₈=20，設數列{b_n}的前n項和為T_n，比較a_n與T_n的大小．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：2S_n=3a_n-1，當n≥2時，2S_n-1=3a_n-1-1；兩式相減可得a_n=3a_n-1．利用等比數列的通項公式可得a_n=3^n-1．
設等差數列{b_n}的公差為d，由于b₂+b₅=12，b₃+b₈=20，b_n=2n-1．可得T_n=n²．對n分類討論即可比較出其大小．

解答： 解：∵2S_n=3a_n-1，當n≥2時，2S_n-1=3a_n-1-1；
兩式相減可得：2a_n=3a_n-3a_n-1，化為a_n=3a_n-1．
當n=1時，2a₁=3a₁-1，解得a₁=1．
∴數列{a_n}是等比數列，
a_n=3^n-1．
設等差數列{b_n}的公差為d，
∵b₂+b₅=12，b₃+b₈=20，
∴b₁+d+b₁+4d=12，b₁+2d+b₁+7d=20，
解得b₁=1，d=2．
∴b_n=1+2（n-1）=2n-1．
∴T_n=

n(1+2n-1)

2

=n²．
當n=1時，a₁=T₁=1；
當n=2時，a₂=3＜T₂=4；
當n=3時，a₃=9=T₃；
當n≥4時，（1+2）ⁿ=1+

∁

1 n

•2+

∁

2 n

•22+

∁

3 n

•23+…
=1+2n+2n（n-1）+

4n(n-1)(n-2)

3

+…
＞3n²，
∴a_n＞T_n．
綜上可得：當n=1或3時，a_n=T_n；
當n=2時，a₂＜T₂；
當n≥4時，a_n＞T_n．

點評：本題考查了遞推式的應用、等差數列與等比數列的通項公式及其前n項和公式、二項式定理的應用，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．