Question

【題目】某公司銷售甲、乙兩種產品，根據市場調查和預測，甲產品的利潤（萬元）與投資額（萬元）成正比，其關系如圖所示；乙產品的利潤（萬元）與投資額（萬元）的算術平方根成正比，其關系式如圖所示．

（1）分別將甲、乙兩種產品的利潤表示為投資額的函數；

（2）若該公司投資萬元資金，并全部用于甲、乙兩種產品的營銷，問：怎樣分配這萬元投資，才能使公司獲得最大利潤？其最大利潤為多少？

Answer 1

【答案】（1）甲產品的利潤函數為；乙產品的利潤函數為；（2）詳見解析．

【解析】

（1）由題意設、，分別代入點的坐標即可得解；

（2）設乙產品的投資金額為萬元，則甲產品的投資金額為萬元，由題意列出總利潤的函數，換元后利用二次函數的圖象與性質分類討論即可得解.

（1）由題意設甲產品的利潤函數為，乙產品的利潤函數為．

由函數經過點，則即，所以；

函數經過點，則即，所以；

（2）設乙產品的投資金額為萬元，則甲產品的投資金額為萬元，

所獲得總利潤為萬元，

則，，

令，則，

，

該函數圖象開口向下，對稱軸為，

所以當即時，函數在上單調遞增，

當即時，有最大值；

當即時，函數在上遞增，在上遞減，

當即時，有最大值．

綜上可知，當時，乙產品投資萬元，甲產品不作投資，該公司可獲得最大利潤，最大利潤為萬元；

當時，乙產品投資萬元，甲產品投資萬元，該公司可獲得最大利潤，最大利潤為萬元．