【題目】已知橢圓
的焦距為
，且經過點
．
（1）求橢圓的方程；
（2）A是橢圓與y軸正半軸的交點，橢圓上是否存在兩點M，N，使得△AMN是以A為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，請說明有幾個，并求出直線MN；若不存在，請說明理由．
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）存在，有3個．
【解析】
試題先用待定系數法求出橢圓方程，因為
，直角邊AM，AN不可能垂直或平行于
軸，設
的斜率為
，則
的斜率為
，寫出
的直線方程，分別與橢圓方程聯立，解出
點的坐標，同理把
，寫出
點的坐標，求出
，由
，列出方程求出值.
試題解析：(Ⅰ)由題
解得
，
．所以橢圓Ω的方程為．
(Ⅱ)由題意可知，直角邊AM，AN不可能垂直或平行于軸，故可設AM所在直線的方程為
，不妨設
，則直線AM所在的方程為
．
聯立方程
消去
整理得
，解得
，將代入可得
，故點
.
所以
．
同理可得
，由
，得
，
所以
，則
，解得
或
．
當AM斜率時，AN斜率
；當AM斜率
時，AN斜率
；當AM斜率
時，AN斜率
．
綜上所述，符合條件的三角形有
個.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】我們國家正處于老齡化社會中，老有所依也是政府的民生工程.某市共有戶籍人口400萬，其中老人（年齡60歲及以上）人數約有66萬，為了了解老人們的健康狀況，政府從老人中隨機抽取600人并委托醫療機構免費為他們進行健康評估，健康狀況共分為不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四個等級，并以80歲為界限分成兩個群體進行統計，樣本分布被制作成如下圖表：
（1）若采用分層抽樣的方法再從樣本中的不能自理的老人中抽取8人進一步了解他們的生活狀況，則兩個群體中各應抽取多少人？
（2）估算該市80歲及以上長者占全市戶籍人口的百分比；
（3）據統計該市大約有五分之一的戶籍老人無固定收入，政府計劃為這部分老人每月發放生活補貼，標準如下：
①80歲及以上長者每人每月發放生活補貼200元；
②80歲以下老人每人每月發放生活補貼120元；
③不能自理的老人每人每月額外發放生活補貼100元.
利用樣本估計總體，試估計政府執行此計劃的年度預算.（單位：億元，結果保留兩位小數）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某公司銷售甲、乙兩種產品，根據市場調查和預測，甲產品的利潤
（萬元）與投資額
（萬元）成正比，其關系如圖所示；乙產品的利潤（萬元）與投資額（萬元）的算術平方根成正比，其關系式如圖所示．
（1）分別將甲、乙兩種產品的利潤表示為投資額的函數；
（2）若該公司投資
萬元資金，并全部用于甲、乙兩種產品的營銷，問：怎樣分配這
萬元投資，才能使公司獲得最大利潤？其最大利潤為多少？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設
， 
分別為雙曲線
的左、右焦點， 
為雙曲線的左頂點，以
， 
為直徑的圓交雙曲線某條漸近線于
， 
兩點，且滿足
，則該雙曲線的離心率為________.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】數列
中，
在直線
．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）令
，數列
的前n項和為
．
（ⅰ）求；
（ⅱ）是否存在整數λ
，使得不等式(－1)nλ＜
(n∈N
)恒成立？若存在，求出λ的取值的集合；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知四棱錐
的底面為平行四邊形，且
,
, 
分別為
中點，過
作平面
分別與線段
相交于點
.
（Ⅰ）在圖中作出平面
使面
‖
(不要求證明）；
（II）若
，在（Ⅰ）的條件下求多面體
的體積.
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