Question

任意滿足

x-y+3≤0 x+y-5≥0 x-3≤0

的實數x，y，若不等式a（x²+y²）＜（x+y）²恒成立，則實數a的取值范圍是

a≤0

．

Answer 1

分析：此題考查的是線性規劃以及恒成立問題．在分析時，可以先有線性約束條件畫出可行域，然后由恒成立的條件可轉化為求

y

x

的目標函數求最值即可，進而利用可行域即可獲得答案．

解答：解：由題意知：可行域如圖，
又∵a（x²+y²）＜（x+y）²在可行域內恒成立．
且a＜

(x+y)2

x2+y2

=1+

2xy

x2+y2

=1+

2 y x

1+( y x )2

=1+

2

y x + 1 y x

，
設Z=

y

x

+

1

y x

，由圖象可知：

y

x

≥

6-0

3-0

，或

y

x

＜-1，
即

y

x

≥2或

y

x

＜-1，
∴當

y

x

→-1時，Z→-2，此時1+

2

Z

→極小值0，
故a≤1+

2

-2

= 0，
故答案為：a≤0．

點評：本題屬于對線性規劃、基本不等式、還有函數知識考查的綜合類題目．在解答過程當中，同學們應該仔細體會數形結合的思想、函數思想、轉化思想還有恒成立思想在題目中的體現．故本題值得思考總結．