Question

若任意滿(mǎn)足

x-y≤0 x+y-5≥0 y-3≤0

的實(shí)數(shù)x，y，不等式a（x²+y²）≤（x+y）²恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值是

 

Answer 1

分析：此題考查的是線(xiàn)性規(guī)劃以及恒成立問(wèn)題．在分析時(shí)，可以先有線(xiàn)性約束條件畫(huà)出可行域，然后由恒成立的條件可轉(zhuǎn)化為求

y

x

的目標(biāo)函數(shù)求最值即可，進(jìn)而利用可行域即可獲得答案．

解答：解：由題意知：可行域如圖，
又∵a（x²+y²）≤（x+y）²在可行域內(nèi)恒成立．
且a≤

(x+y)2

x2+y2

=1+

2xy

x2+y2

=1+

2 y x

1+( y x )2

=1+

2

y x + 1 y x

，
故只求Z=

y

x

+

1

y x

的最大值即可．
由圖象可知：1≤

y

x

≤

3-0

2-0

，即1≤

y

x

≤

3

2

，
∴當(dāng)

y

x

=

3

2

時(shí)Z取到最大值，最大值為

13

6

，
故a≤1+

2

13 6

=

25

13

，
所以答案為

25

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題屬于對(duì)線(xiàn)性規(guī)劃、基本不等式、還有函數(shù)知識(shí)考查的綜合類(lèi)題目．在解答過(guò)程當(dāng)中，同學(xué)們應(yīng)該仔細(xì)體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想、函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想還有恒成立思想在題目中的體現(xiàn)．故本題值得思考總結(jié)．