Question

若對任意滿足

x-y+3≥0 x+y-5≥0 x-3≤0

的實數x、y，不等式axy≥x²+y²恒成立，則實數a的取值范圍是

[

17

4

，+∞)

．

Answer 1

分析：不等式組

x-y+3≥0 x+y-5≥0 x-3≤0

，表示一個三角形區域，三角形的三個頂點的坐標分別為（1，4），（3，6），（3，2）
與原點連線的斜率分別為4，2，

2

3

，可求的

y

x

∈[

2

3

，4]，不等式axy≥x²+y²可轉化為a≥

x

y

+

y

x

，求出右邊的最小值，即可求得實數a的取值范圍．

解答：解：不等式組

x-y+3≥0 x+y-5≥0 x-3≤0

，表示一個三角形區域，三角形的三個頂點的坐標分別為（1，4），（3，6），（3，2）
與原點連線的斜率分別為4，2，

2

3

∴

y

x

∈[

2

3

，4]
不等式axy≥x²+y²可轉化為a≥

x

y

+

y

x

令t=

x

y

，則t+

1

t

在[

2

3

，1]上單調減，在[1，4]上單調增
∴t=1時，函數取得最小值為2；t=4時，函數取得最大值為

17

4

∴a≥

17

4

故答案為：[

17

4

，+∞)

點評：本題考查恒成立問題，考查函數的單調性與最值，解題的關鍵是分離參數，確定函數的最值．