Question

定義在（0，+∞）上的函數f（x）滿足f（x）+f（y）=f（xy），且當x＞1時，f（x）＜0，若對任意的x，y∈（0，+∞），不等式f(

x2+y2

)≤f(

xy

)+f(a)恒成立，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：先根據條件證明函數f（x）在（0，+∞）上單調性，然后化簡不等式，根據

x2+y2

≥

2xy

恒成立建立關系式即可．

解答：解：設x₁＞x₂＞0，則

x1

x2

＞1
∵f（x）+f（y）=f（xy），
∴f（x）-f（y）=f（

x

y

），
f（x₁）-f（x₂）=f（

x1

x2

）＜0（x＞1時，f（x）＜0）
∴函數f（x）在（0，+∞）上單調遞減函數
∵f(

x2+y2

)≤f(

xy

)+f(a)
∴f（

x2+y2

）≤f（a

xy

）
即

x2+y2

≥a

xy

x2+y2

≥

2xy

≥a

xy

∴a ≤

2

，又a＞0．
故答案為：(0，

2

]

點評：本題主要考查抽象函數的單調性以及不等式的應用，屬于中檔題，單調性是函數的“局部”性質．