Question

已知正實數x，y滿足x+y+3=xy，若對任意滿足條件的x，y，都有（x+y）²-a（x+y）+1≥0恒成立，則實數a的取值范圍為

（-∞，

37

6

]

．

Answer 1

分析：依題意，由正實數x，y滿足x+y+3=xy，可求得x+y≥6，由（x+y）²-a（x+y）+1≥0恒成立可求得a≤x+y+

1

x+y

恒成立，利用雙鉤函數的性質即可求得實數a的取值范圍．

解答：解：∵正實數x，y滿足x+y+3=xy，而xy≤(

x+y

2

)2，
∴x+y+3≤(

x+y

2

)2，
∴（x+y）²-4（x+y）-12≥0，
∴x+y≥6或x+y≤-2（舍去），
∴x+y≥6．
又正實數x，y有（x+y）²-a（x+y）+1≥0恒成立，
∴a≤x+y+

1

x+y

恒成立，
∴a≤(x+y+

1

x+y

)min，
令x+y=t（t≥6，）g（t）=t+

1

t

，由雙鉤函數的性質得g（t）在[6，+∞）上單調遞增，
∴(x+y+

1

x+y

)min=g（t）_min=g（6）=6+

1

6

=

37

6

．
∴a≤

37

6

．
故答案為：（-∞，

37

6

]．

點評：本題考查基本不等式，考查雙鉤函數的單調性質，求得x+y≥6是關鍵，考查綜合分析與運算的能力，屬于中檔題．