Question

已知正實數x，y滿足x+y+3=xy，若對任意滿足條件的x，y，都有（x+y）²-a（x+y）+1≥0恒成立，則實數a的取值范圍為    ．

Answer 1

【答案】分析：依題意，由正實數x，y滿足x+y+3=xy，可求得x+y≥6，由（x+y）²-a（x+y）+1≥0恒成立可求得a≤x+y+恒成立，利用雙鉤函數的性質即可求得實數a的取值范圍．
解答：解：∵正實數x，y滿足x+y+3=xy，而xy≤，
∴x+y+3≤，
∴（x+y）²-4（x+y）-12≥0，
∴x+y≥6或x+y≤-2（舍去），
∴x+y≥6．
又正實數x，y有（x+y）²-a（x+y）+1≥0恒成立，
∴a≤x+y+恒成立，
∴a≤，
令x+y=t（t≥6，）g（t）=t+，由雙鉤函數的性質得g（t）在[6，+∞）上單調遞增，
∴=g（t）_min=g（6）=6+=．
∴a≤．
故答案為：（-∞，]．
點評：本題考查基本不等式，考查雙鉤函數的單調性質，求得x+y≥6是關鍵，考查綜合分析與運算的能力，屬于中檔題．