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14.如圖,已知等邊△ABC中,E,F(xiàn)分別為AB,AC邊的中點(diǎn),M為EF的中點(diǎn),N為BC邊上一點(diǎn),且CN=$\frac{1}{4}$BC,將△AEF沿EF折到△A'EF的位置,使平面A'EF⊥平面EFCB.
(Ⅰ)求證:平面A'MN⊥平面A'BF;
(Ⅱ)設(shè)BF∩MN=G,求三棱錐A'-BGN的體積.

分析 (Ⅰ)證明A'M⊥EF,推出A'M⊥平面EFCB,得到A'M⊥BF,證明BF⊥MN.得到BF⊥平面A'MN.然后證明平面A'MN⊥平面A'BF.
(Ⅱ)s說(shuō)明A'M為三棱錐A'-BGN底面上的高.求出${S_{△BGN}}=\frac{1}{2}BG•NG=\frac{1}{2}×\frac{{3\sqrt{3}}}{2}×\frac{3}{2}=\frac{{9\sqrt{3}}}{8}$,然后求解棱錐的體積.

解答 解:(Ⅰ)證明:因?yàn)镋,F(xiàn)為等邊△ABC的AB,AC邊的中點(diǎn),
所以△A'EF是等邊三角形,且EF∥BC.
因?yàn)镸是EF的中點(diǎn),所以A'M⊥EF.…(1分)
又由于平面A'EF⊥平面EFCB,A'M?平面A'EF,所以A'M⊥平面EFCB.…(2分)
又BF?平面EFCB,所以A'M⊥BF.…(3分)
因?yàn)?CN=\frac{1}{4}BC$,所以$MF\underline{\underline{∥}}CN$,所以MN∥CF.…^…(4分)
在正△ABC中知BF⊥CF,所以BF⊥MN.
而A'M∩MN=M,所以BF⊥平面A'MN.…(5分)
又因?yàn)锽F?平面A'BF,所以平面A'MN⊥平面A'BF.…(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知A'M⊥平面EFCB,所以A'M為三棱錐A'-BGN底面上的高.
根據(jù)正三角形的邊長(zhǎng)為4,知△AE'F是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,所以$A'M=\sqrt{3}$.
易知$GN=\frac{3}{4}CF=\frac{3}{2}$,$BN=\frac{3}{4}BC=3$.…(8分)
又由(Ⅰ)知BF⊥MN,所以$BG=\sqrt{B{N^2}-N{G^2}}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$,
所以${S_{△BGN}}=\frac{1}{2}BG•NG=\frac{1}{2}×\frac{{3\sqrt{3}}}{2}×\frac{3}{2}=\frac{{9\sqrt{3}}}{8}$,…(10分)
所以${V_{A'-BGN}}=\frac{1}{3}{S_{△BGN}}•A'M=\frac{1}{3}×\frac{{9\sqrt{3}}}{8}×\sqrt{3}=\frac{9}{8}$.…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直,平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用,幾何體的體積的求法,考查空間想象能力以及計(jì)算能力.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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