Question

已知橢圓E的中心在坐標原點，焦點在x軸上，離心率為，且橢圓E上一點到兩個焦點距離之和為4，l₁，l₂是過點P(0，2)且互相垂直的兩條直線，l₁交E于A，B兩點，l₂交E于C，D兩點，AB，CD的中點分別為M，N，
(1)求橢圓E的方程；
(2)求l₁的斜率k的取值范圍；
(3)求的取值范圍．

Answer 1

解：(1)設橢圓方程為，
由得，
∴橢圓方程為。
(2)由題意知，直線l₁的斜率存在且不為零，
∵l₁：y=kx+2，
∴l₂：y=-x+2，
由消去y并化簡整理，得(3+4k²)x²+16kx+4=0，
根據題意，Δ=(16k)²-16(3+4k²)＞0，解得k²＞，
 同理得，k²＜4，
∴＜k²＜4，k∈(-2，-)∪(，2)；
(3)設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，M(x₀，y₀)，
那么x₁+x₂=-，
∴x₀=，y₀=kx₀+2=，
∴M，
同理得N，即N，
∴=，
∵＜k²＜4，
∴2≤k²+，
∴，
即的取值范圍是。