Question

已知橢圓C的中心為直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是7和1，
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，M為過(guò)P且垂直于x軸的直線上的點(diǎn)，=λ，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線。

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)及半焦距分別為a，c，
由已知得，解得a=4，c=3，
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（Ⅱ）設(shè)M（x，y），其中x∈[-4，4]，
由已知及點(diǎn)P在橢圓C上可得，
整理得，其中x∈[-4，4]，
（ⅰ）時(shí)，化簡(jiǎn)得，
所以點(diǎn)M的軌跡方程為，軌跡是兩條平行于x軸的線段；
（ⅱ）時(shí)，方程變形為，其中x∈[-4，4]，
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)、實(shí)軸在y軸上的雙曲線滿足-4≤x≤4的部分；
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓滿足-4≤x≤4的部分；
當(dāng)λ≥1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓。