Question

已知橢圓的離心率為，
(1)若原點到直線x+y-b=0的距離為，求橢圓的方程；
(2)設過橢圓的右焦點且傾斜角為45°的直線l和橢圓交于A、B兩點，
①當|AB|=時，求b的值；
②對于橢圓上任一點M，若，求實數λ、μ滿足的關系式。

Answer 1

解：（1），∴b=2，
∵，∴，
，
∴，
解得，
∴橢圓的方程為。
（2）①，∴，
橢圓的方程可化為：，①
易知右焦點為，據題意有直線AB的方程為：，②
由①，②有：，③
設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，則，
∴b=1．
②顯然與可作為平面向量的一組基底，
由平面向量基本定理，對于這一平面內的向量，有且只有一對實數λ，μ，使得成立．
設M(x，y)，，
∴，
又點M在橢圓上，∴，④
由③有：，
則
，⑤
又A，B在橢圓上，故有，⑥
將⑤，⑥代入④可得：。