Question

【題目】已知函數f（x）=ax2+bx﹣ （a＞0），g（x）=4x+ + ，且y=f（x+ ）為偶函數．設集合A={x|t﹣1≤x≤t+1}．
（1）若t=﹣ ，記f（x）在A上的最大值與最小值分別為M，N，求M﹣N；
（2）若對任意的實數t，總存在x1 ， x2∈A，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥g（x）對x∈[0，1]恒成立，試求a的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解： = 為偶函數，

所以 ；

即t= ，f（x）=ax2﹣ x﹣ =a（x﹣ ）2﹣ ﹣ ，

在區間 上，

∵ ，

∴M﹣N=a；

（2）解：設2x=t，∵x∈[0，1]，∴t=2x∈[1，2]，

，

所以g（x）的最大值為 ．

依題意原命題等價于在A上，總存在兩個點 ．

即只需滿足在A上 ．

因為對任意的t都成立，所以當 也成立，由（1）知 ，

，

下面證明在[t﹣1，t+1]上總存在兩點x1、x2，使得 成立．

當t≥1時，f（x）在[t，t+]遞增，當t＜1時，f（x）在[t﹣1，t]遞減，

則|f（x1）﹣f（x2）|max≥f（t+1）﹣f（t）= t﹣ ≥ ，

|f（x1）﹣f（x2）|max≥f（t﹣1）﹣f（t）= ﹣ t＞ ，

綜上所述，

【解析】（1）由偶函數的定義，可得b=﹣ ，將f（x）配方，由對稱軸和區間的關系，可得最大值和最小值，可得M﹣N=a；（2）設2x=t，求得g（x）的解析式（用t表示），求出最大值，結合條件可得a≥ ，證明在[t﹣1，t+1]上總存在兩點x1、x2 ， 使得 成立．注意運用二次函數的單調性，即可得到a的最小值．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質的相關知識點，需要掌握當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減才能正確解答此題．