【題目】在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,E是棱CC1的中點,F是側面BCC1B1內的動點,且A1F∥平面D1AE,則A1F與平面BCC1B1所成角的正切值t構成的集合是( )
A.{t| }
B.{t| ≤t≤2}??
C.{t|2 }
D.{t|2 }
【答案】D
【解析】解:設平面AD1E與直線BC交于點G,連接AG、EG,則G為BC的中點
分別取B1B、B1C1的中點M、N,連接AM、MN、AN,則
∵A1M∥D1E,A1M平面D1AE,D1E平面D1AE,
∴A1M∥平面D1AE.同理可得MN∥平面D1AE,
∵A1M、MN是平面A1MN內的相交直線
∴平面A1MN∥平面D1AE,
由此結合A1F∥平面D1AE,可得直線A1F平面A1MN,即點F是線段MN上上的動點.
設直線A1F與平面BCC1B1所成角為θ
運動點F并加以觀察,可得
當F與M(或N)重合時,A1F與平面BCC1B1所成角等于∠A1MB1 , 此時所成角θ達到最小值,滿足tanθ= =2;
當F與MN中點重合時,A1F與平面BCC1B1所成角達到最大值,滿足tanθ= =2
∴A1F與平面BCC1B1所成角的正切取值范圍為[2,2 ]
故選:D
設平面AD1E與直線BC交于點G,連接AG、EG,則G為BC的中點.分別取B1B、B1C1的中點M、N,連接AM、MN、AN,可證出平面A1MN∥平面D1AE,從而得到A1F是平面A1MN內的直線.由此將點F在線段MN上運動并加以觀察,即可得到A1F與平面BCC1B1所成角取最大值、最小值的位置,由此不難得到A1F與平面BCC1B1所成角的正切取值范圍.
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【題目】已知橢圓:
(
)的離心率為
,直線
:
與以原點為圓心、橢圓
的短半軸長為半徑的圓
相切.
(1)求橢圓的方程;
(2)過橢圓的左頂點
作直線
,與圓
相交于兩點
,
,若
是鈍角三角形,求直線
的斜率
的取值范圍.
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【題目】f(x)是定義在(0,+∞)上的非負可導函數,且滿足xf′(x)+f(x)≤0,對任意正數a、b,若a<b,則必有( )
A.af(b)≤bf(a)
B.bf(a)≤af(b)
C.af(a)≤f(b)
D.bf(b)≤f(a)
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【題目】已知函數f(x)=ax2+bx﹣ (a>0),g(x)=4x+
+
,且y=f(x+
)為偶函數.設集合A={x|t﹣1≤x≤t+1}.
(1)若t=﹣ ,記f(x)在A上的最大值與最小值分別為M,N,求M﹣N;
(2)若對任意的實數t,總存在x1 , x2∈A,使得|f(x1)﹣f(x2)|≥g(x)對x∈[0,1]恒成立,試求a的最小值.
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【題目】在△ABC中,a,b,c分別為內角A,B,C的對邊,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.
(1)求A的大小;
(2)求sinB+sinC的最大值.
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【題目】已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,過F作垂直于x軸的直線交拋物線于A,B,兩點,△AOB的面積為8,直線l與拋物線C相切于Q點,P是l上一點(不與Q重合).
(1)求拋物線C的方程;
(2)若以線段PQ為直徑的圓恰好經過F,求|PF|的最小值.
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